НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 004.891.2

Задача выбора автомобиля относится к классу слабоструктуированных проблем. Для решения задач этого класса успешно используются системы поддержки принятия решения (СППР). СППР - это интерактивные автоматизированные системы, помогающие лицу, принимающему решения, использовать данные и модели для решения слабоструктуированных проблем [1, 2]. Лицом, принимающим решение, (ЛПР) в данной задаче является молодой человек² со средними потребностями в поездках на личном автотранспорте, среднего достатка и имеющий опыт эксплуатации отечественных автомобилей. Так, в результате беседы с экспертом было установлено, что на его решение оказывают три основных характеристики автомобиля: - стоимость (в тысячах рублей [0…500 т.р.]), - эксплуатационные расходы (в процентах от стоимости за один год эксплуатации [0…30%]) и - надежность (в условных единицах [0…1]). При этом под эксплуатационными расходами подразумеваются расходы на горюче-смазочные материалы, замену шин, техническое обслуживание, расходы на запасные части автомобиля в случае возникновения неисправности. Под надежностью понимается комплексное свойство, которое включает безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость [3]. Количественная оценка надежности обычно производится по её частным показателям (вероятность безотказной работы, срок сохраняемости и т.п.). Однако в рамках данной работы оценка надежности конкретного автомобиля производится на основе доступных статистических данных об эксплуатационных характеристиках автомобиля, опыта и интуиции ЛПР. Множества , и были приняты входными лингвистическими переменными [4] системы нечеткого логического вывода с термами — нечеткими подмножествами³:

- низкая стоимость, - приемлемая стоимость, - максимально возможная стоимость, - высокая стоимость;

- низкие расходы, - оптимальные расходы , - неприемлемые расходы;

- низкая надежность, - средняя надежность , - высокая надежность , - безупречная надежность.

При этом в качестве выходной лингвистической переменной T c множеством значений [0...1] выбрано «решение о покупке автомобиля» с термами { - да; - скорее да, чем нет; - скорее нет, чем да; - нет}.

Для фаззификации⁴ нечеткого вывода должны быть определены функции принадлежности четких значений лингвистических переменных нечетким множествам — термам этих лингвистических переменных. Поэтому для каждой лингвистической переменной в результате беседы были определены качественные зависимости функций принадлежности значений переменной каждому из её термов. Для построения функций принадлежности значений четких значений , , и переменных , , и нечетким множествам-термам целесообразно провести экспертный опрос [5, стр.33-34]. Однако на этапе разработки СППР достаточно иметь приближенные кусочно-линейные директивно-заданные функции принадлежности:

a) стоимости автомобиля:

,

,

,

;

б) эксплуатационных расходов:

,

,

;

в) надежности автомобиля:

,

,

,

;

г) выходной лингвистической переменной:

,

,

,

.

Графически функции принадлежности представлены на рисунках 1-4.

Рисунок 1 – Зависимости функций принадлежности µ термам лингвистической переменной «стоимость» от значений стоимости автомобиля

Рисунок 2 – Зависимости функций принадлежности µ термам лингвистической переменной «эксплуатационные расходы» от расходов на эксплуатацию автомобиля

Рисунок 3 – Зависимости функций принадлежности µ термам лингвистической переменной «надежность» от условной надежности автомобиля

Рисунок 4 – Зависимости функций принадлежности µ термам лингвистической переменной «решение о покупке» от значений условной шкалы 0…1

Для формирования базы знаний эксперту было предложено сформулировать набор правил «если , то »,

где - посылка правила;

- заключение правила;

- логическое выражение «стоимость принадлежит нечеткому множеству »;

- логическое выражение «расходы принадлежит нечеткому множеству »;

- логическое выражение «надежность принадлежит нечеткому множеству »;

- логическое выражение «величина t принадлежит нечеткому множеству »;

В связи с тем, что в настоящее время не определены условия необходимости и достаточности объема базы знаний, то было решено сформировать базу знаний из всех возможных комбинаций значений входных лингвистических переменных (4 * 3 * 4 = 48 правил). База знаний, в которой для каждого терма входной переменной существует хотя бы одно правило, называется базой знаний со слабой полнотой [6].

Эксперт сформулировал правила следующим образом.

1) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - низкая, то решение - скорее да, чем нет.

2) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - средняя, то решение - скорее да, чем нет.

3) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - высокая, то решение - скорее да, чем нет.

4) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - безупречная, то решение - да.

5) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - низкая, то решение - скорее нет, чем да.

6) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - средняя, то решение - скорее да, чем нет.

7) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - высокая, то решение - скорее да, чем нет.

8) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - безупречная, то решение - да.

9) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - низкая, то решение - нет.

10) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - средняя, то решение - нет.

11) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - высокая, то решение - нет.

12) Если стоимость - низкая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - безупречная, то решение - нет.

13) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - низкая, то решение - скорее да, чем нет.

14) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - средняя, то решение - скорее да, чем нет.

15) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - высокая, то решение - скорее да, чем нет.

16) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - безупречная, то решение - да.

17) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - низкая, то решение - скорее нет, чем да.

18) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - средняя, то решение - скорее да, чем нет.

19) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - высокая, то решение - скорее да, чем нет.

20) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - безупречная, то решение - скорее да, чем нет.

21) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - низкая, то решение - нет.

22) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - средняя, то решение - нет.

23) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - высокая, то решение - нет.

24) Если стоимость - приемлемая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - безупречная, то решение - нет.

25) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - низкая, то решение - нет.

26) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - средняя, то решение - нет.

27) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - высокая, то решение - скорее да, чем нет.

28) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - безупречная, то решение - скорее да, чем нет.

29) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - низкая, то решение - нет.

30) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - средняя, то решение - нет.

31) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - высокая, то решение - скорее нет, чем да.

32) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - безупречная, то решение - скорее нет, чем да.

33) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - низкая, то решение - нет.

34) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - средняя, то решение - нет.

35) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - высокая, то решение - нет.

36) Если стоимость - макс.возможная и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - безупречная, то решение - нет.

37) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - низкая, то решение - нет.

38) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - средняя, то решение - нет.

39) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - высокая, то решение - нет.

40) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - низкие и надежность - безупречная, то решение - нет.

41) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - низкая, то решение - нет.

42) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - средняя, то решение - нет.

43) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - высокая, то решение - нет.

44) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - оптимальные и надежность - безупречная, то решение - нет.

45) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - низкая, то решение - нет.

46) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - средняя, то решение - нет.

47) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - высокая, то решение - нет.

48) Если стоимость - высокая и эксплуатационные расходы - неприемлемые и надежность - безупречная, то решение - нет.

В связи с тем, что в сформированной базе знаний W существует несколько правил, имеющих разные посылки и одинаковое заключение ( размера , где заключение во всех правилах сформулировано как «»), то, рассматривая конкретную альтернативу (автомобиль), для каждого терма выходной лингвистической переменной целесообразно определить правило, наиболее соответствующее рассматриваемой альтернативе (имеющее наибольшее значение меры выполненности посылки):

.

Нечеткий вывод формулируется для правила modus ponens - для известной посылки (предпосылки, антицедента) U' и заданной импликации R необходимо найти заключение (следствие, консеквент) T':

.

Получение результата прямого нечеткого вывода T' можно представить в виде:

,

где () - операция свертки (композиционное правило нечеткого логического вывода).

В настоящее время проверенных практикой способов нечеткой импликации существует несколько [5, стр. 27-28]. В данной работе для правил вида:

,

использовалась нечеткая T-импликация Мамдани (Mamdani):

,

- мера выполненности посылки .

Для построения нечеткой композиции множества правил W в работе использовалось максминное композиционное правило [6]:

,

где - оператор вычисления верхней границы множества элементов , где t «пробегает» все значения из Т.

При использовании дискретного представления величины t справедлива формула:

.

При этом для дефаззификации⁵ нечеткой композиции использовался центроидный метод [6]:

,

где - центр тяжести нечеткой композиции,

N — размер дискретно заданного равномерно «разбитого» множества T.

Разрабатываемая система нечеткого логического вывода должна помочь ЛПР преодолеть затруднения в выборе автомобиля, если характеристики конкретных автомобилей известны (таблица 1). Для получения характеристик автомобилей целесообразно провести отдельное исследование. Однако в рамках данной работы значения характеристик были установлены экспертом самостоятельно в соответствии с заявленными ценами, их техническим состоянием, опытом и интуицией ЛПР.

Для вычисления центра тяжести нечеткого множества «решение о покупке автомобиля» были получены графики нечеткой композиции для каждой альтернативы (рисунки 5-10).

Рисунок 5 – Нечеткая композиция для автомобиля Toyota Jaris

Рисунок 6 – Нечеткая композиция для автомобиля ВАЗ

Рисунок 7 – Нечеткая композиция для автомобиля BMW

Рисунок 8 – Нечеткая композиция для автомобиля Nissan

Рисунок 9 – Нечеткая композиция для автомобиля Hundaw

Рисунок 10 – Нечеткая композиция для автомобиля ОКА

На рисунках 5-10 показано насколько характеристики конкретного автомобиля определяют решение о его покупке. Так, на рисунке 5 видно, что характеристики автомобиля Toyota Jaris позволяют принять решение «скорее да, чем нет» с мерой принадлежности 0,98 и решение «скорее нет, чем да» с мерой принадлежности 0,03. Очевидно, что нечеткая композиция Toyota Jaris определяется, в основном, правилом ╧28 сформированной ранее базы знаний.

В связи с тем, что на рисунках 5-10 термы выходной лингвистической переменной расположены на условной шкале нечеткого вывода от «да» до «нет», то альтернатива будет обладать большим приоритетом, если значение центра тяжести её нечеткой композиции меньше. В таблице 1 представлены значения центра тяжести нечеткой композиции каждой альтернативы. Так, Toyota Jaris обладает наименьшим значением центра тяжести нечеткой композиции и, соответственно, большим приоритетом для покупки. В то же время BMW обладает наибольшим значением центра тяжести нечеткой композиции и, соответственно, наименьшим приоритетом при покупке. И действительно, стоимость автомобиля в 500 тысяч рублей соответствует нечеткому множеству «высокая стоимость» с мерой принадлежности 1,0. В сформированной базе знаний большинство правил, где в посылке используется логическое высказывание «стоимость - высокая», имеют заключение «нет», что и было продемонстрировано на рисунке 7.

Таким образом, разработанная система поддержки и принятия решения о покупке автомобиля позволяет разрешить неопределенность при выборе автомобиля для его покупки. В работе продемонстрированы преимущества математического аппарата нечеткой логики при принятии управленческих решений в условиях неопределенности и предложен оригинальный подход для вычисления нечеткой композиции при дублировании заключений в правилах «слабо» полной базы знаний.

Список использованных источников

4.      The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning // Inform. Sci. (USA) - 1975 – 9 – С.43-48. Пер.: Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений – М.: Мир, 1976

5.      Борисов В.В., Круглов В.В., Федулов А.С. Нечеткие модели и сети — М.: Горячая линия — Телеком, 2007г. - 284с.

6.      И. Г. Перфильева, Приложения теории нечетких множеств, Итоги науки и техн. Сер. Теор. вероятн. Мат. стат. Теор. Кибернет., 1990, 29, 83–151

7.      Kaufman A. Introduction to the theory of fuzzy subsets. Vol. 1. Fundamental theoretical elements // New York: Academic Press, 1975 (Пер.: Кофман А. Введение в теорию нечетких подмножеств. - М.: Радио и связь, 1982г. - 432с.)

1 От англ. Decision Support System, DSS

2 Далее по тексту - эксперт

3 Согласно замечанию Кофмана [7], множества всегда будут обычными и только подмножества — нечеткими.

4 от англ. «fuzzification» - приведение к нечеткости