Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
77-30569/224791 Исследование одномерной модели течения струи заряженного газа
# 08, август 2011
Файл статьи:
Кравченко_P.pdf
(663.29Кб)
УДК: 51-73 МГТУ им. Н.Э. Баумана 1. Введение Большинство исследуемых в технике нелинейных динамических систем являются неконсервативными. В таких системах энергия может не только диссипировать из-за потерь, но и пополняться из-за неустойчивостей. Для таких систем принципиально новым явлением по сравнению с консервативными системами служит явление автоколебаний. То есть таких колебаний, поддерживаемых внешними возмущениями, вид и свойства которых определяются самой системой. Системы или среды в которых могут происходить автоколебательные процессы с точки зрения теории нелинейных волн описываются одним из модельных уравнений [1, 2]. Вид такого уравнения определяется характеристиками среды: дисперсией и нелинейностью. Подобное наблюдается в нелинейных консервативных средах, где для одномерных волн основным является нелинейное уравнение переноса (1) и уравнение Бюргерса для сред с линейной вязкостью . (2) Если в среде присутствует только консервативная нелинейность, то низкочастотная неустойчивость при учёте вязкости также приводит к автоколебаниям [1], которые в одноволновом приближении описываются уравнением . (3) Уравнение (3) является одним из основных (эталонных) в теории неравновесных волн в нелинейных средах [2]. Такое уравнение (3) называют модифицированным уравнением Бюргерса. Если в уравнении (3) присутствует нагрузка , зависящая от времени, то такое уравнение называют модифицированным уравнением Бюргерса с нагрузкой . (4) На настоящий момент не существует физической модели и теории возникновения молнии в атмосфере. В работе [3] предложена простая модель возникновения молнии, основанная на уравнениях гидродинамики заряженного газа. Нелинейной средой здесь является атмосфера в целом, а в частности – облака, имеющие заряж. От системы гидродинамических уравнений осуществляется переход к более простому уравнению вида (4), для которого при найдено волновое решение. Вместе с этим, остаётся открытым вопрос об аналитическом решении в общем случае. Кроме того, в силу нелинейности задачи, решающее значение приобретает вопрос о влиянии начальных условий на характер решения. Работа состоит из трёх частей. В первой части, согласно [3], изложена гидродинамическая модель течения струи заряженного газа. Во второй части представлено решение для уравнения типа (4) в общем случае. В третьей части, для стационарного случая рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение методом фазовой плоскости, с помощью которого установлены различные типы движений, реализуемые в модели. 2. Одномерная модель течения струи заряженного газа Исследуемая модель состоит в следующем. Слабоионизированная газовая среда (облако в атмосфере) как единое целое движется под действием разности давлений со скоростью . Заряженные частицы (или ионизованный газ) движутся с незаряженными частицами как единое целое. Однако, на заряженные частицы помимо гидродинамических сил действует электростатическое поле атмосферы, а также поле самих зарядов. Задача состоит в том, чтобы найти пространственное распределение электростатического поля и плотности зарядов. Такая задача сводится к совместному решению уравнений движения для заряженной среды (жидкости или газа), непрерывности и Пуассона, которые можно записать в виде системы (5) Здесь – заряд частицы, – масса частицы, – скорость частицы, – концентрация частиц, – концентрация частиц противоположного знака, – температура среды, – постоянная Больцмана, – диэлектрическая проницаемость среды, – эффективная частота соударения. Систему (5) можно преобразовать к нелинейному уравнению в частных производных введением безразмерных переменных. Согласно [3] для случая электрически нейтральной среды, когда и одного порядка, система (5) переходит в уравнение относительно безразмерной напряжённости , заменив на , получим уравнение вида (4) . (6) Если среда не является электрически нейтральной (при ), то система (5) переходит в уравнение , замена приводит к уравнению . (7) В [3] показано, что волновое решение уравнения (7) является разрывным , где – постоянные интегрирования, а – функции Эйри. Разрывные решения имеют следующую интерпретацию: в точках разрыва напряжённость поля формально имеет сколь угодно большое значение. Образуется почти периодическая цепочка заряженных сгустков, между которыми расположены незаряженные области. Исследование условий образования подобных сгустков – заряженных кластеров представляет физический интерес, а резульатты для случая статического поля изложены в [5-7]. Таким образом, возникает необходимость в отыскании аналитического решения уравнения (6), а также в выявлении роли начальных условий, которые определяют поведение решений нелинейного уравнения. 3. Аналитическое решение Будем искать решение уравнения (6) в виде . (8) Для определения функций , подставим (8) в (6) . Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему . (9) Система (9) является интегрируемой. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что ей удовлетворяют функции и . Таким образом, решение уравнения (6) в виде разложения (8) имеет вид . (10) Формально, решение (10) найдено, но такое решение является вырожденным в силу линейности по координате . Это означает следующее. Будем решать задачу Коши для уравнения (6) на отрезке . Граничными условиями примем однородные условия Неймана: (10) Продифференцировав решение (10) по координате, в силу структуры решения, получим функцию, зависящую только от времени и не зависящую от координаты . Отсюда, решение (10) является нечувствительным к граничным условиям типа Неймана. По-видимому, можно предложить такое решение уравнения (10), в котором переменные входят нелинейным образом, однако, автору оно в настоящий момент не известно. 4. Фазовый портрет в стационарном случае Для ответа на вопрос о роли начальных условий используем методы теории фазового пространства [8],[9]. В стационарном случае уравнение в частных проихводных (6) перейдёт в обыкновенное дифференциальное уравнение (11) Перенесём начало отсчёта в положение равновесия , то есть введём новую переменную . Такая замена преобразует уравнение (11) в уравнение вида Здесь первые три слагаемых представляют собой линейную колебательную систему, к которой сводится описание системы (11) при достаточно малых вариациях, когда нелинейное слагаемое становится величиной второго порядка малости и им можно пренебречь. Перепишем уравнение (12) в виде системы (12) Система (13) имеет следующий фазовый портрет рис. 1 а). Координата играет роль фазового времени, то есть парметра, изменияющего координаты некоторой точки на плоскости . Область является область с такими начальными условиями, для которых временные решения уходят на бесконечность за конечное время. Характерные временные решения для областей и представлены на рис. 1 б),в).
5. Заключение В начтоящей работе аналтически исследовалась модель течения струи заряженного газа (в одномерном случае) [3] в виде нелинейного уравнения (6). Представлено аналитическое решение уравнения (6), которое, однако, является вырожденным. Роль начальных условий в стационарном случае удалось определить при помощи метода фазовой плоскости. В зависимости от выбора начальных условий в той или иной области, существенно меняется характер поведения модели. При определённом выборе начальных условий решения модели возрастают очень быстро при малом изменении значений аргумента. Такое поведение нелинейной системы согласуется с наличием в модели разрывных решений. Автор выражает благодарность своему руководителю – академику РАН, д.ф.-м.н., зав. Каф. РЛ3 МГТУ им. Н.Э. Баумана Владиславу Ивановичу Пустовойту за постановку задачи, а также профессорам Владимиру Георгиевичу Сапогину и Михаилу Владимировичу Капранову за ценные замечания, сделанные автору при выполенению работы. Список литературы 1. Рабинович М.И. Автоколебания распределённых систем // Известия вузов. 1974. Т.14, ╧4. С. 477-510. 2. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л. Нелинейные волны в неравновесных средах // Известия вузов. 1976. Т.19, ╧5-6. С. 721-766. 3. Пустовойт В.И. О механизме возникновения молнии // Радиотехника и электроника. 2006. Т.51, ╧8. С.996-1002. 4. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. Для вузов. 2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с. 5. Сапогин В.Г. Механизмы удержания вещества самосогласованным полем. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. 254 с. 6. Сапогин В.Г. Неупругое взаимодействие электронного кластера с плоской поверхностью // Известия ТРТУ. 2001. ╧1. С. 165-168. 7. Сапогин В.Г. Бесстолкновительный кластер плоской динамической системы зарядов с V-образной потенциальной щелью // Вестник Южного научного центра РАН. 2005. Т. 1, ╧2. С.9-16. 8. Капранов М.В. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. 320 с. 9. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 520 с. Публикации с ключевыми словами: течение струи заряженного газа, модифицированное уравнение Бюргерса с нагрузкой, фазовый портрет Публикации со словами: течение струи заряженного газа, модифицированное уравнение Бюргерса с нагрузкой, фазовый портрет Смотри также: Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|