НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 536.2.022

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

den_vorobyow@mail.ru

khves@power.bmstu.ru

Введение

Проблема расчета теплопереноса в многослойных наноструктурах связана с развитием ряда направлений нанотехнологий, где эти структуры нашли применение, в частности, микроэлектроники, основанной на структурированных полупроводниковых микроструктурах.

Одним из видов многослойных упорядоченных структур являются бинарные структуры  – плоские образования с толщиной одного слоя 10-50 нм. Количество слоев в структуре лежит в пределах от сотен до тысяч. Слои выполнены из двух различных материалов AlAs и GaAs и чередуются друг с другом так, что у каждого слоя оба соседних выполнены из другого материала.

Толщина слоя в таких системах обычно значительно меньше длины свободного пробега переносчиков теплоты (электронов и фононов). В таком случае закон Фурье не применим для описания распространения теплоты в одном слое. Использование уравнения теплопроводности Фурье-Кирхгофа исключается.

Для описания процесса теплопереноса в слоистых структурах предлагается следующая модель. Внутри каждого слоя температура одинакова по всей его ширине. На границах слоев имею место конечные скачки температуры, впервые экспериментально обнаруженные П.Л. Капицей в 1941 году на границе жидкого гелия и материала сосуда, в котором находился гелий. Таким образом, в многослойных наноструктурах картина распределения температуры значительно отличается от таковой для массивных сплошных тел.

Перенос теплоты в слоистых наноструктурах определяется не процессами рассеяния электронов и фононов внутри решетки, а процессами рассеяния частиц на интерфейсах (границах слоев). Иными словами, процесс теплопереноса определяется тепловым сопротивлением  (обратная величина – тепловая проводимость ) Капицы. Вместо закона Фурье следует использовать формулу, связывающую удельный тепловой поток q с разностью температур соседних слоев (Т₁-Т₂), впервые предложенную И.М. Халатниковым для случая контакта жидкого гелия с твердым телом [1]:

Позднее было доказано, что сопротивление Капицы имеет место между любыми парами различных материалов [5].

Процесс теплопереноса считается одномерным, то есть распространение теплоты рассматривается только в направлении перпендикулярном поверхности слоев.

Модель теплопереноса в слоистой структуре

Рассматривается одномерный  нестационарный процесс распространения тепла в теплоизолированной упорядоченной многослойной наноструктуре, состоящей из 1000 чередующихся слоев материалов AlAs и GaAs. В таблице 1 для справки приведены теплофизические характеристики рассматриваемых материалов (теплоемкость С, плотность ρ, скорость звука ν_s, средняя величина сопротивления Капицы при контакте материалов ρ_k).

Таблица 1. Теплофизические характеристики материалов [4].

В начальный момент времени первые 50 слоев имеют температуру 900 К, а все последующие слои – 300 К (имитация импульсного нагрева, [2]). На рисунке 1 представлен тепловой баланс отдельно взятого i-го слоя.

Рис. 1. Тепловой баланс i-го слоя.

В соответствии с рисунком 1 для расчета переноса теплоты в наноструктуре используется следующее соотношение:

где i– номер слоя в многослойной структуре;

ΔT, К – изменение температуры слоя за время τ;

h, м– толщина слоя.

Левая часть уравнения (2) есть изменение энергии i-го слоя, а правая – подведенная и отведенная теплоты за время τ, соответственно. Данное соотношение позволяет найти распределение температур в наноструктурах при известных значениях сопротивления Капицы, тогда как формула Халатникова используется для определения сопротивления Капицы.

Условие теплоизоляции внешних границ наноструктуры получено обнулением проводимостей на этих границах.

В расчетах использована неявная конечно-разностная схема, позволяющая избежать ограничений на временной шаг имеющих место при использовании явной схемы расчета. Необходимо отметить, что в случае явной схемы расчета максимальный временной шаг имеет физическое ограничение, связанное со скоростью распространения тепловой волны в материалах многослойной наноструктуры. Максимальное значение шага может быть определено как:

В случае одинаковых толщин слоев скорость звука берется для материала с меньшим ее значением.

Численное исследование процесса теплопереноса

Согласно (2) теплоперенос в многослойных структурах зависит от свойств материалов слоев (теплоемкости С), их толщин h и проводимости интерфейсов  между слоями. В последнем случае важно отметить, что сопротивление интерфейсов  не одинаково при переходе от слоя из материала AlAs к слою из материала GaAs и от GaAs к AlAs. На рисунке 2 видны «малые» и «большие» скачки температуры на границах слоев, обусловленные различной величиной сопротивлений интерфейсов.

Рис. 2. Характерное распределение температуры по слоям наноструктуры при h_АlAs=h_GaAs=50 нм, t=10^-7 c.

В дальнейших расчетах для удобства используется отношение проводимостей:

где σ_kAlAs– проводимость интерфейса при переходе от АlAs к GaAs;

σ_kGaAs– проводимость интерфейса при переходе от GaAs к АlAs;

На рисунке 3 показаны профили температур, полученные при различных временах расчета.

Рис. 3. Распределение температуры в многослойной структуре при различных временах расчета t, c (h_АlAs=h_GaAs=50 нм).

На рисунке 4 представлены распределения температур при различной толщине слоев для случая одинаковых толщин слоев AlAsи GaAs, т.е. h_АlAs=h_GaAs. Из графиков видно, что с увеличением толщины слоя процесс теплопереноса замедляется. Хотя ранее было сказано, что в многослойных наноструктурах толщины слоев имеют величину 10 – 50 нм, расчет был также произведен при больших толщинах слоя. 

Рис. 4. Распределение температуры в многослойной структуре при толщинах слоев от 10 до 70 нм с шагом 10 нм. На рисунке цветом выделены распределения температуры при крайних значениях толщины слоя. t=10^-7 c.

Исследование теплопереноса при различных толщинах слоев AlAsи GaAs (h_АlAs≠h_GaAs) показало, что в случае h_АlAs=20 нм и h_GaAs=40 нм, а также в аналогичных случаях, полученное распределение температуры с высокой точностью совпадает с распределением для h_АlAs=h_GaAs=(20+40)/2=30 нм.

В расчетах также было получено, что соотношение между скоростями теплопереноса сохраняется во времени при различной толщине слоя.

Все выше описанные расчеты были произведены при значении отношения проводимостей k=5. Расчеты, проведенные для значений k в диапазоне от 0,1 до 10, показали незначительное различие температурных профилей при различных значениях k. Данный факт объясняется неизменностью суммарного термического сопротивления интерфейсов структуры, т.е.:

Несмотря на то, что для пары AlAs/GaAsтермическое сопротивление Капицы является известной величиной, в целях исследования влияния последнего на процесс теплопереноса были произведены расчеты при различных величинах сопротивления , результаты которых показаны на рисунке 5.

Рис. 5. Распределение температуры в многослойной структуре при изменении термического сопротивления интерфейсов от 0,1·10^-9 до 1,9·10^-9 м²К/Вт с шагом 0,2·10^-10 м²К/Вт. На рисунке цветом выделены распределения температуры при крайних значениях термического сопротивления. t=10^-7 c, k=2.

Расчеты, проведенные при k=5 и k=8, выявили, что тенденция, показная на рис. 5 имеет место и в этих случаях.

Проведенные расчеты основаны на идеализированном случае, когда не наблюдается отклонений проводимостей интерфейсов, т.е. все переходы от АlAs к GaAs имеют одинаковую проводимость σ_kAlAs, и все переходы от GAAs к АlAs имеют одинаковую проводимость σ_kGaAs. На рисунке 6  показно распределение температуры при наличии отклонения проводимости произвольно взятого интерфейса.

Рис. 6. Распределения температуры при отклонении проводимости интерфейса:
1 – проводимость в 100 раз меньше номинальной;
2 - проводимость в 10 раз меньше номинальной.

На графиках рис. 6 виден значительный скачок температуры на интерфейсе с низкой проводимостью. Величина скачка закономерно увеличивается при уменьшении проводимости (увеличении сопротивления) интерфейса, причем эта зависимость носит нелинейный характер.

Выводы

В работе рассмотрен нестационарный процесс теплопереноса в теплоизолированной многослойной упорядоченной наноструктуре AlAs/GaAsс заданным начальным распределение температуры. Показаны распределения температуры в различные моменты времени. Установлено замедление процесса теплопереноса при увеличении толщины слоя. Аналогичная тенденция выявлена при увеличении отношения проводимостей Капицы и сопротивления интерфейсов.

Список литературы

1.              Халатников И.М. Введение в теорию сверхтекучести. М.: Наука, 1965. С. 128-136.

2.              Попович А.Ф., Ральченко В.Г., Власов А.В., Цыганков П.А. Температуропроводность нанокомпозитных многослойных пленок Ti-Al // Тонкие пленки в электронике: материалы XXII Междунар. симп. (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 9-11 сентября 2009 г.). М.: ЦНИТИ «Техномаш», 2009. С. 469-473.

3.              Samvedi V., Tomar V. The role of interface thermal boundary resistance in the overall thermal conductivity of Si–Ge multilayered structures // Nanotechnology. 2009. Vol. 20, no. 36. Art. no. 365701. DOI:   10.1088/0957-4484/20/36/365701 

4.              Sadao Adashi. Properties of Semiconductors Alloys: Group-IV, III-V and II-VI Semiconductors. John Wiley & Sons, 2009. 400 p. DOI: 10.1002/9780470744383

5.              Cahill D.G., Ford W.K., Goodson K.E., Mahan G.D., Majumdar A., Maris H.J., Merlin R., Phillpot S.R. Nanoscale thermal transport // Journal of Applied Physics. 2003. Vol. 93, no. 2. P. 793 (26 pages). http://dx.doi.org/10.1063/1.1524305