Файл статьи: Tenenbaum_S.pdf (1637.06Кб)

 I.Введение

Предметом исследования в работе является процесс развёртывания весомой растяжимой нити с катушки. Предложена математическая модель, обеспечивающая моделирование движения нити как на катушке, так и на сошедшем с катушки участках нити при постоянной размерности системы дифференциальных уравнений.

Обоснована актуальность задачи моделирования динамики развёртывания нити с катушки для моделирования развёртывания лопастных роторных солнечных парусов (Гелиоротор [1], «Парус-МГТУ» [2]). Приведена краткая характеристика лопасти солнечного паруса как объекта моделирования и обоснована возможность использования модели гибкой нити ввиду малой толщины материала лопасти (менее 20 мкм [3]) и действия в процессе развёртывания сил Кориолиса [4], приводящих к потере устойчивости плоской формы лопасти.

Основные особенности предложенной модели:

-      моделируется как движение участка нити, находящегося на катушке, так и участка, сошедшего с него;

-      разбиение длины нити на узлы не связано с необходимостью обеспечения достаточного количества узлов на одном витке нити на катушки;

-      поскольку не решается задача контакта между нитью и катушкой, обеспечивается устойчивое интегрирование уравнений движения явным методом Рунге-Кутты четвёртого порядка с постоянным шагом [5];

-      число степеней свободы (количество дифференциальных уравнений) остаётся постоянным в процессе решения, что значительно упрощает вычислительный алгоритм.

Наиболее близкая к предложенной модели описана в работе [6].

Научная новизна работы состоит в подходе к решению задачи сматывания нити с катушки с постоянной размерностью системы дифференциальных уравнений с сохранением реальной кинематики процесса сматывания.

 II.Постановка задачи

В разделе поставлена задача моделирования динамики сматывания нити длиной Lс катушки радиусом rпри действии на сошедший с катушки участок нити произвольных силовых факторов. При этом закон вращения катушки φ(t) считается известным, однако модель может быть доработана для случая, когда φ(t)  определяется в результате решения обыкновенного дифференциального уравнения.

 III.Математическая модель

Приведено подробное описание предлагаемой математической модели, построенной на базе пружинно-массовой модели.

Основная особенность модели: в каждый момент времени все узлы делятся на три группы:

-      узлы на катушке (связанные) – их движение полностью определяется движением катушки;

-      свободные узлы – сошедшие с катушки и не граничащие с узлами на катушке;

-      пограничные узлы – сошедшие с катушки, граничащие с узлами на катушке.

Для каждой группы узлов правые части уравнений движения записываются по-разному. В эти уравнения введены дополнительные поправки, обеспечивающие снижение влияния дискретизации на результаты расчётов, а именно:

-      уравнения движения пограничных узлов записываются так, чтобы исключить появление нефизичных составляющих в силах реакции связей, возникающих в результате дискретизации;

-      в момент схода узла с катушки производится разворот его вектора скорости в соответствии с движением уже сошедших узлов, тем самым моделируется изгиб нити с очень малым радиусом в точке схода с катушки.

 IV.Численный эксперимент

Разработанная модель протестирована на упрощённой задаче развёртывания двухлопастного роторного солнечного паруса в проекте «Парус-МГТУ» [2].

В результате расчётов показано, что предложенная математическая модель обеспечивает выполнение закона сохранения момента импульса. Также показано, что результаты расчётов практически не зависят от вспомогательных параметров математической модели (например, от коэффициента демпфирования относительных колебаний узлов).

V.Выводы

Основные выводы по результатам работы:

-      предложенная модель обеспечивает выполнение закона сохранения кинетического момента, что косвенно подтверждает её правильность;

-      поперечное движение нити в процессе развёртывания практически не зависит от коэффициентов демпфирования и жёсткости, следовательно, их значения можно варьировать для обеспечения устойчивости счёта без потери точности результатов.

-      На базе предложенной математической модели сматывания нити с катушки в дальнейшем следует разработать модель сматывания ленты с катушки для проведения более точных расчётов развёртывания лопастей солнечного паруса.