Другие журналы
|
научное издание МГТУ им. Н.Э. БауманаНАУКА и ОБРАЗОВАНИЕИздатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211. ISSN 1994-0408
Расчет возрастания энтропии при теплообмене двух тел
# 01, январь 2014 DOI: 10.7463/0114.0681975 УДК: 536.75
Файл статьи:
Glagolev_P.pdf
(273.24Кб)
Разработка методов описания процессов, происходящих в неравновесных системах, требует применения новых подходов. Дело в том, что в отличие от процессов, происходящих в квазиравновесных системах, для которых применимы методы равновесной термодинамики, при описании сильно неравновесных систем возникает необходимость использования соотношений, отличающихся от обычно применяемых в линейной термодинамике [1, 2]. В частности, в качестве альтернативы линейным кинетическим соотношениям выступает применение интегральных преобразований, описывающих немарковские процессы [3]. Стремление энтропии к максимальному значению при приближении термодинамической системы к равновесному состоянию описывается разными функциями, в зависимости от степени неравновесности системы. Если система находится в близком к равновесию состоянии, то её стремление к максимальному значению происходит максимально быстро и описывается экспоненциальной зависимостью. Для далеких от равновесия состояний возрастание энтропии происходит максимально медленно и описывается логарифмической зависимостью. Покажем это на простом примере. Пусть имеется термодинамическая система, состоящая из двух находящихся в тепловом контакте тел, помещенная в адиабатическую оболочку. Считаем, что тела имеют идеальную (бесконечно высокую) теплопроводность. Теплоемкости тел одинаковы и равны . Температура первого тела в некоторый момент времени равна , а второго - , причем . Найдем уравнение, описывающее изменение энтропии системы с течением времени при её стремлении к состоянию термодинамического равновесия. Будем считать, что передача теплоты от одного тела к другому описывается формулой
где - коэффициент теплопередачи. После достижения системой состояния термодинамического равновесия температура тел станет одинаковой
а её энтропия примет максимальное значение . Изменение энтропии системы при её переходе в равновесие можно определить по формуле
Из этой формулы следует
В соответствии со свойством аддитивности энтропии для изменения энтропии рассматриваемой системы можно записать
Здесь учтено, что теплота отводится от второго тела и подводится к первому. Тогда уравнение, описывающее изменение энтропии с течением времени при стремлении системы к состоянию термодинамического равновесия, примет окончательный вид
При правая часть этого уравнения больше нуля, что соответствует росту энтропии с течением времени: . При достижении энтропией системы равновесного (максимального) значения , правая часть полученного уравнения становится равной нулю, и дальнейшего роста энтропии не происходит. Если считать, что в начальный момент времени энтропия , то решение уравнения (6) можно записать в неявном виде [4]
Получим решение для двух частных случаев. В первом будем считать, что термодинамическая система находится в состоянии, близком к равновесному: . Тогда, приближенное решение уравнения (6), имеет вид
Из выражения (8) следует, что в состояниях, близких к равновесному, энтропия экспоненциально стремится к своему максимальному значению. Рассмотрим теперь случай, когда термодинамическая система находится в состоянии, далеком от равновесия: . Решение (6) в этом случае имеет вид:
Как следует из выражения (9), в состояниях далеких от равновесия энтропия стремиться к максимальному значению по логарифмическому закону. Хотя логарифмическая функция и является более пологой, чем экспоненциальная, скорость увеличения энтропии, рассчитанная по формуле (9) оказывается имеющей большую величину, чем в случае применения формулы (8). Результат численного решения уравнения (6) приведен на рис. 1 (средняя кривая 2) при следующих значениях параметров: , , и . На этом же рисунки приведены кривые, рассчитанные по формуле (8) (нижняя кривая 3) и по формуле (9) (верхняя кривая 1). Видно, что решение (8), соответствующее случаю описания термодинамической системы в состоянии близком к равновесию, достаточно явно не совпадает с численным решением уравнения (6) при сильно неравновесном состоянии. Результат, полученный по формуле (9), расходится с численным моделированием в области, близкой к равновесию. Рис. 1. Зависимость энтропии от времени: 1 – при описании с помощью Таким образом, рассмотренный простой пример показывает, что характер стремления энтропии к максимальному значению различен для систем, находящихся в состоянии близком к равновесию и для сильно неравновесных состояний. Полученные зависимости сохраняют свой вид и при описании необратимых процессов в более сложных термодинамических системах и, видимо, имеют достаточно универсальный характер. Список литературы
Публикации с ключевыми словами: энтропия, термодинамическая система, неравновесное состояние, необратимый процесс Публикации со словами: энтропия, термодинамическая система, неравновесное состояние, необратимый процесс Смотри также: Тематические рубрики: Поделиться:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|